GIẢI TRÍ VỚI BÀI TOÁN CHIA ĐẤT

| Phiên bản dự toán 2023 trở về thuế VAT 10% | Tra mã hiệu dự toán theo tên c/việc |

Một bạn ở huyện Sơn Hòa vừa gửi tôi 1 bài toán rất thực tế như sau:

Người hàng xóm của bạn ấy cần chia đôi miếng đất hình thang ABCD, thành 2 phần cho 2 người con, bằng 1 đường thẳng, điều kiện: 2 phần có diện tích bằng nhau (S1=S2) và bề rộng mặt tiền bằng nhau (MA=MD), (cạnh AD tiếp giáp mặt đường, đường phân chia phải đi qua trung điểm M của cạnh AD).

Giải pháp nào cho người hàng xóm của bạn ấy?

* * *

Tuy đây chỉ là dạng toán hình học phẳng (lớp 8), đơn thuần là hình học, không có ẩn số hay lũy thừa gì phức tạp... nhìn đơn giản nhưng cũng khá là hại não cho một giải pháp.

Bài toán chia đất có tính ứng dụng cao trong thực tiễn, giải pháp đã có, tuy nhiên yêu cầu vẫn được đưa lên để anh em tham khảo, giải trí cho vui.

Hình mang tính gợi ý:

Cách 1:

Thử kiểm tra với trường hợp ngẫu nhiên: BC//AD:

Khi đó C = B' = C', => O là trung điểm BB' (đúng)

Cách 2:

Thử kiểm tra với trường hợp ngẫu nhiên: BC//AD:

Khi đó BC = AD, AB = CD, thay vào công thức trên: 

OH = AD.CD/(CD+AB) = BC.CD/2CD = BC/2, => O là trung điểm BC' (đúng).

* * *

Tuy Hòa, 01/02/2023, Tuấn Anh

* * *

Phản hồi từ Sơn Hòa:

OK anh sau khi em vẽ lại theo cả 2 cách trên và đo diện tích trên AutoCAD thì thấy đúng là 2 phần bằng nhau. Nhưng ổng nói ổng còn 1 miếng đất nữa cũng muốn chia như vậy nhưng miếng này 2 cạnh đối không song song nhau (hình tứ giác lồi chứ không phải hình thang). Vậy cách chia trường hợp này sao anh?

* * *

Với trường hợp này vẫn chia như cách 1 ở trên, xem hình minh họa cách chia (cách 1):

Trường hợp đỉnh B gần cạnh AD hơn:

Thử kiểm tra với trường hợp ngẫu nhiên: BC//AD: 

Khi đó C = B' = C', => O là trung điểm BB' (đúng).

Tưởng xong mà vẫn chưa…

Phản hồi từ Sơn Hòa (15/2/2023):

Anh, cho em xin số tài khoản, ông bạn có ý chuyển anh ít đồng café thay lời cảm ơn vì anh đã giúp đỡ, ổng ở xa ko xuống được.

Và cũng nhân tiện nhờ anh cho 1 phương án dự phòng cuối cùng, đó là thay vì chia làm 2 như trên, thì giờ chia làm 3 như hình dưới (vẫn miếng đất hình tứ giác lồi tiếp giáp mặt đường, chia 3 phần có diện tích bằng nhau, và bề rộng mặt tiền bằng nhau):

Tiêu đề bài viết nên đổi từ "Giải trí..." thành "Hại não..." có lẽ phù hợp hơn, thật may cuối cùng cũng đã tìm ra ánh sáng cuối đường hầm:

* Nhận xét:

Việc chia 3 sẽ không áp dụng theo 1 trong 2 cách trên được, vì việc kẻ đường song song với canh đáy như trên không tạo ra các tam giác bằng nhau để làm "thừa số chung", bài toán lâm vào bế tắc..

Bài toán qui về việc xác định vị trí G, F trên HE, (tức là xác định 3 giá trị x, y, x). xem (x, y, z) là 3 ẩn số, lập 1 hệ 3 phương trình 3 ẩn x, y, z, theo các giá trị đã biết, từ đó tính ra x, y, z (tức xác định được vị trí G, F trên HE)

* Cách xác định G, F:

Giả sử đã xác định được các vị trí các điểm G, F thuộc HE, sao cho BG và CF chia hình tứ giác ADEH thành 3 phần bằng nhau như hình dưới:

Đặt HG = x, GF = y, FE = x.

Cần lập hệ 3 phương trình 3 ẩn số x, y, z, tính được x, y, z là xác định được vị trí G, F trên HE.

Từ A, B, C, D kẻ những đường vuông góc AA’, BB’, CC’, DD’ với cạnh HE, chúng chính là các đường cao tương ứng của các tam giác AHG, BGH, CGF, DFE.

Đặt AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c, DD’ = d.

Nối GA, GC, FA, FD.

Nhận thấy: S(GAB) = S(GBC), vì 2 tam giác có chung chiều cao và cạnh đáy bằng nhau. Tương tự: S(FBC) = S(FCD).

Theo yêu cầu: S(ABGH) = S(BCFG)   (*)

Mà:  S(ABGH) = S(GAB) + S(AGH)   (a)

        S(BCFG) = S(GBC) + S(CFG)   (b), thay (a) và (b) vào (*) được:

S(GAB) + S(AGH) = S(GBC) + S(CFG)  <=> S(AGH) = S(CFG)

<=> AA’.HG = CC’.FG <=> a.x = c.y  (với: a khác 0, vì H <> A)

<=> x = (c/a).y (1)

Tương tự ta cũng có: S(BGF) = S(DEF) <=> y = (d/b).y (2)

Đặt FE = m (m là đơn vị chiều dài), => x+y+z = m (3)

Cuối cùng ta có hệ phương trình:

x = (c/a).y (1)

y = (d/b).z (2)

x+y+z = m (3)

Đặt k1 = c/a, k2 = d/b, hệ phương trình trên thành:

x = k1.y (1)

y =  k2.z (2)

x+y+z = m (3)

Với k1, k2 đã biết, m đã biết từ số liệu đo đạc

Giải hệ phương trình trên bằng cách qui về 1 biến:

Từ (2) => z = y/k2, thay vào (3): k1.y + y + y/k2 = m

<=> y(k1+1+1/k2) = m <=> y = m/(k1+1+1/k2)

Đến đây tính được y, thay vào (1) tính được x, thay vào (2) hoặc (3) tính được z.

Giá trị x, y, z chính là độ dài HG, GF, FE. Từ đó xác định được vị trí các điểm G, F trên HE.

Bài toán xem như được giải quyết.

* Kiểm tra với các trường hợp đặc biệt:

1. H trùng A:

Khi đó hình tứ giác ADEH trở thành tam giác ADE, và x=y=z=m=0

<=> G, F, trùng E. => 3 phần diện tích là 3 tam giác EAB, EBC, ECD, có các cạnh đáy bằng nhau, chung chiều cao hạ từ E nên chúng bằng diện tích: thỏa mãn yêu cầu đặt ra.

2. Cạnh HE//AD:

Khi đó: a=b=c=d => k1 = c/a = 1, k2 = d/b = 1.

=> x=y=z, <=> HG=GF=FE

=> 3 phần diện tích là 3 hình thang ABGH, BCFG, CDEF, có các cặp cạnh đáy // và bằng nhau từng đôi một và có chiều cao bằng nhau (do 2 đáy //), nên chúng bằng diện tích: thỏa mãn yêu cầu đặt ra.

Có thể kiểm tra kết quả bằng phần mềm AutoCAD hoặc trên thực địa: Để kiểm tra trên thực địa ta cần nhớ lại cách tính diện tích hình tứ giác lồi: Nối 2 đỉnh đối diện của tứ giác bằng 1 đường chéo, đường này chia tứ giác thành 2 tam giác chung cạnh đáy là đường chéo đó, từ 2 đỉnh còn lại hạ 2 đường cao xuống đường chéo, từ đó tính được diện tích 2 tam giác, diện tích tứ giác bằng tổng diện tích 2 tam giác, từ đó tính được S, S1, S2, S3. Kiểm tra: S= S1+S2+S3.

* Tổng kết:

Phương pháp chia 3 ở trên có thể áp dụng cho các trường hợp chia hình tứ giác thành n  phần bằng nhau (n là số nguyên >= 2 (2, 3, 4, 5...)), và có bề rộng cạnh chung bằng nhau. Khi đó số biến (x, y... sẽ bằng số phần cần chia n).

- Nếu miếng đất hình thang (2 cạnh bên //) và chia 2 phần: Áp dụng 1 trong 2 cách trên cùng, trong đó cách 1 đơn giản hơn một chút;

- Nếu miếng đất hình tứ giác và chia 2 phần: Áp dụng cách 1 (xem hình minh họa ở trên);

- Nếu chia 3 phần thì áp dụng cách dưới cùng, phương pháp chia 3 vẫn có thể áp dụng cho cả trường hợp chia 2.

Cuối cùng, các yêu cầu của bạn ấy cũng đã được giải quyết.

| Giải trí với vài đường bida 3 băng |